Processing math: 0%

সরল রেখা

একাদশ- দ্বাদশ শ্রেণি - উচ্চতর গণিত - উচ্চতর গণিত – ১ম পত্র | | NCTB BOOK

সরলরেখা (Straight Line) হল এমন একটি রেখা যা দুই প্রান্তের মধ্যে সবচেয়ে সংক্ষিপ্ত দূরত্ব তৈরি করে এবং যেটি সমতলে একটি নির্দিষ্ট দিক ধরে চলে। সরলরেখার প্রতিটি অংশ একই সমতলে অবস্থিত থাকে এবং এর প্রতিটি বিন্দুতে একই ঢাল থাকে। সরলরেখাকে এমন একটি রেখা হিসেবে চিহ্নিত করা যায়, যা একটানা এবং সোজা পথে বিস্তৃত থাকে।

Content added || updated By

# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

60°

135°

90°

কোনোটিই নয়

72,-72
-72,72
-72,-72
72,72
5x+y=10
x+5y=10
5x-y=10
কোনটিই নয়
90°
0°
45°
180°
90o
45o
30o
60o
2 ms-1 
3 ms-1
5 ms-1
0 ms-1
ax+by+a2+b2=0
ax+by=a2+b2
ax+by-ab=0
ax+by=0
None
tan-11
tan-13/4
tan-14/3
tan-12
(43, 0)
(4, 0)
(23, 0)
কোনোটিই নয়
43,0
(4,0)
23,0
কোনটিই নয়
(92, 6)
(92, 5)
(6, 52)
(5, 52)
a+b=1
1a+1b =2
a+b=ab
a+b=ab
a+b=ab
a+b=ab2
a + b = 0
কোনটিই নয়
a+b =ab
a+b=ab2
a+b=0
a-b=ab
30°
60°
90°
120°
a(a+b)
3a(a+b)
a2+b2
কোনটিই নয়
42°
45°
60°
90°
18
38
48 
28
(12, 9)
72,7
4,132
(9, 12)
55
35
79
85
2:3 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত
3:2 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত
3:2 অনুপাতে বহির্বিভক্ত
2:3 অনুপাতে বহির্বিভক্ত
85
79
35
53
297
133
7
-297
30°
75°
105°
135°
150°
সরল রৈখিক
সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু
সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু
কোনটিই নয়
0
-2
2
  
None
32,12
-32,12
32,-12
-32,-12
94 একক
159 একক
95 একক
কোনোটিই নয়
3 x - y = 23
3 x + y = 23
x + 3 y = 23
x - 3 y = 23
5
4
2
5 2
-12
12
-2
2
x = 3 y
y = 3 x
y + 3 x = 0
3 y + x = 0
π3
2π3
π6
5π6
(2, - 45)
(2, 45)
(2, 135)
(2, 225)
-5
-52
 52
5
32
23
-23
-32
43
34
-34
-43
x2+y2-3x=0
x2+y2+3x=0
x2+y2-3y=0
x2+y2+3y=0
p, q
q, p
1p,1q
1q,1p
x + y + 42 = 0
y - x ± 4 2 = 0
y + 42x = 0
42x - y = 0
58 বর্গ একক
54 বর্গ একক
52 বর্গ একক
45 বর্গ একক
107
-107
57
-57
x2+y2+2x+2y=1
x2+y2+2x-2y=1
x2+y2-2x-2y=1
x2+y2-2x+2y=1
2 5 
35 
52
53
 tan-1-17
 tan-117
- tan-117
 tan-17
115
1310
1110
135
5
3
125
1225
-6
-16
16
6
-3
-13
13
3
tan-1-43
tan-143
tan-134
tan-1 
-3
13
-13
3
4,43
43,4
(6, 2)
(2, 6)
রেখাদ্বয় মূলবিন্দু দিয়ে যায়
রেখাদ্বয় পরস্পরকে ছেদ করে
রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব
রেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল
17
-17
7
-7
52,-32
-32,52
-1,53
53,-1
32
32
22
2
90°
tan-154
tan-1-54
32,0
(0,-3)
(-3,0)
0,32
2
-12
-2
12
3
-3
13
-13
রেখার ঢাল
রেখাটি অক্ষদ্বয়কে যে বিন্দু দুইটিতে ছেদ করে তাদের দূরত্ব
x-অক্ষের ছেদক অংশ
y-অক্ষের ছেদক অংশ
53
-35
1
-1
173,3
277,27
274,43
(-3,-10)
4
2
14
12
y = mx
y=y1x1.x
y-y1=m(x-x1)
y=x1y1.x
103
94
114
87
32,0
(0,-3)
(-3,0)
0,32
2
-12
-2
12
3
-3
13
-13
রেখার ঢাল
রেখাটি অক্ষদ্বয়কে যে বিন্দু দুইটিতে ছেদ করে তাদের দূরত্ব
x-অক্ষের ছেদক অংশ
y-অক্ষের ছেদক অংশ
53
-35
1
-1
173,3
277,27
274,43
(-3,-10)
4
2
14
12
y = mx
y=y1x1.x
y-y1=m(x-x1)
y=x1y1.x
103
94
114
87
π2
π3
π4
5π4
π2
π3
π4
5π4
115
11213
3
413
3
13
-13
-3
y2 = x
y2 = 4x
x2 = y
x2 = 4y
17
737
7
377
115
11213
3
413
3
13
-13
-3
(0,0)
23,0
0,32
0,23
y2 = x
y2 = 4x
x2 = y
x2 = 4y
17
737
7
377
(0,0)
23,0
0,32
0,23
524
245
5
24
y2 + 4x = 0
y2 - 4x = 0
x2 + 4y = 0
x2- 4y = 0
1226
26
1274
74
y2 = 1 + 2x
y2 = 4(1-x)
y2 = 4(1 + x)
x2 = 4(1 + y)
(10, 0)
9,π4
8,π2
7,3π4
y2 = 3x2
x2 = 3y2
y2 = 2x
y2 = 4x2
a1a2 + b1b2 = 0
a1a2=b1b2
a1a2-b1b2 = 0
a1a2 = b1b2
x2 + y = 1
x2 + y2 = 2
x3 + y3 = 1
x + y = 1
x2 + y = 1
x2 + y2 = 2
x3 + y3 = 1
x + y = 1
1
0
- 
1
0
- 
26
2
5
226
257
57
317
297
-43
-34
34
43
r(1-cosθ) = 2
r(1 + cosθ) = 2
r(1 - sinθ) = 2
r(1 + sinθ) = 2
26
2
5
226
257
57
317
297
-43
-34
34
43
r(1-cosθ) = 2
r(1 + cosθ) = 2
r(1 - sinθ) = 2
r(1 + sinθ) = 2
xy=a2
xy=1a2
2xy=a2
xy=2a2
rtanθ = c
r sin 2θ = c
r(tanθ - m) = cosecθ
rcosθ = mrsinθ+ c
138
537
137
538
15,75
75,15
25,95
কোনটিই নয়
-23 7π6
-23 π6
23 7π6
23 π6

4 একক

3 একক

655 একক

1225 একক

নিচের তথ্যের আলোকে পরবর্তী প্রশ্নের উত্তর দাও:
-12
34
-34
-43
নিচের তথ্যের আলোকে পরবর্তী প্রশ্নের উত্তর দাও:

x + y + 4 = 0 এবং x - y - 2 = 0 দুইটি সরলরেখার সমীকরণ।

নিচের তথ্যের আলোকে পরবর্তী প্রশ্নের উত্তর দাও:

(3, 1)  বিন্দু হতে 3x - y + 8 = 0 সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য P এবং লম্ব রেখাটি x-অক্ষের সাথে θ কোণ উৎপন্ন করলে-

5
4
2
52
নিচের তথ্যের আলোকে পরবর্তী প্রশ্নের উত্তর দাও:

3x – 4y - 12 = 0 সরলরেখাটি x ও y অক্ষকে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে ছেদ করে,

কার্তেসীয় ও পোলার স্থানাঙ্কের মধ্যে সম্পর্ক

কার্তেসীয় এবং পোলার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার মধ্যে সম্পর্ক হলো বিভিন্ন স্থানাঙ্ক সিস্টেমের মধ্যে অবস্থান নির্দেশ করার একটি উপায়। এই দুই স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার মধ্যে সম্পর্ক বোঝার জন্য নিচে বিস্তারিত আলোচনা করা হলো:


কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক (Cartesian Coordinates)

কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে (Cartesian Coordinates) একটি বিন্দুর অবস্থানকে (x, y) আকারে প্রকাশ করা হয়, যেখানে:

  • x : x -অক্ষের সাথে বিন্দুর দূরত্ব
  • y : y -অক্ষের সাথে বিন্দুর দূরত্ব

পোলার স্থানাঙ্ক (Polar Coordinates)

পোলার স্থানাঙ্কে (Polar Coordinates) একটি বিন্দুর অবস্থানকে (r, \theta) আকারে প্রকাশ করা হয়, যেখানে:

  • r : বিন্দুটি মূলবিন্দু (Origin) থেকে কত দূরে আছে (ব্যাসার্ধ বা দূরত্ব)
  • \theta : x -অক্ষের সাথে বিন্দুর অবস্থানের কোণ

কার্তেসীয় থেকে পোলার রূপান্তর

কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক (x, y) থেকে পোলার স্থানাঙ্ক (r, \theta) এ রূপান্তর করার জন্য নিচের সূত্রগুলো ব্যবহার করা হয়:
r = \sqrt{x^2 + y^2}
\theta = \tan^{-1} \left( \frac{y}{x} \right)
এখানে r হল ব্যাসার্ধ এবং \theta হল কোণ।


পোলার থেকে কার্তেসীয় রূপান্তর

পোলার স্থানাঙ্ক (r, \theta) থেকে কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক (x, y) এ রূপান্তর করার জন্য নিচের সূত্রগুলো ব্যবহার করা হয়:
x = r \cos \theta
y = r \sin \theta
এখানে r হল মূলবিন্দু থেকে বিন্দুর দূরত্ব এবং \theta হল কোণ।


উদাহরণ

যদি একটি বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক (3, 4) হয়, তাহলে আমরা পোলার স্থানাঙ্কে এটি বের করতে পারি:

  1. r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
  2. \theta = \tan^{-1} \left( \frac{4}{3} \right) \approx 53.13^\circ বা 0.93 রেডিয়ান

অতএব, পোলার স্থানাঙ্ক (5, 53.13^\circ) বা (5, 0.93)


এইভাবে কার্তেসীয় এবং পোলার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার মধ্যে রূপান্তর করতে এই সূত্রগুলো ব্যবহার করা হয়।

# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

x2+y2,yx
x2 + y2, tan-1yx
x2 + y2, tan-1xy
x2 + y2, tan-1yx
(-12,-12)
(12,12)
(12,-12)
কোনোটিই নয়
6,π4
3,π4
6,54π
6,-π4
2,π3
2,4π3
4,2π3
4,4π3
(6,π4)
(3,π4)
(6,π4)
(6,-π4)
6,π4
3,π4
6,5π4
6,-π4
-2,2π3
2,π3
0,2π3
2,2π3
(2,π3)
(2,π6)
(2,2π3)
(2,5π6)
(3, 1)
(-3, 1)
(3, -1)
(-3, -1)
1,3
1,-3
-1,3
-1,-3
(6 ,π/4)
(3 ,π/4)
(6 ,5π/4)
(6, -π4)
2, π/3
2, 4π/3
4π3, 1
-2,2π/3
2,π3
2,4π3
2,5π3
1,4π3
22 ,5 π6
3 ,5 π6
-23 ,5 π6
3 ,π6
(0, 0)
(1, π2)
(0, 1)
(1, 0)
2, 45°
-2, 45°
2, 135°
2, 225°
x2+y2=ax
x2+y2=a2
xy=a2
x2+y2+ax =0
x2+y2= b2(x2- y2)
x2-y2= b2(x2+ y2)
x2+y2= b2(x2- y2)
x2-y2= b2(x2+ y2)
x2+y2+x-2=0
y2-4x=4
x2+4x=2
y2+4x=4
y2 = 4ax
y2 + 4ax = 0
y2 = 2ax
y2 + y2 = a2
r = a
r = a cosθ
r = asinθ
r = a2
(-3,1)
(3,-1)
(-3,-1)
কোনটিই নয়
3,π6
23,π6
π6,23
কোনটিই নয়
(3,5π6)
(-3,5π)
(2,5π6)
কোনটিই নয়
   (332,32)  
     (332,-32) 
 (-332,32)  
  (-332,-32)
(332,32) 
 (332,32)
 (-332,32)
  (-332,32)
(2, π3)
(2, π)
(2, π6)
(2, 4π3)
2, -23
-2, 23
23, -2
কোনটিই নয়
2, -23
-2, 23
 23, -2
কোনটিই নয়
(6, π6)
(3, π6)
(6, π3)
কোনটিই নয়
(33, 3)
(3, 3)
(3, 33)
কোনটিই নয়
2120°
2150°
4120°
4150°
(2, 2π3)
(2, π6)
(2, 4π3)
(2, 5π6)
(2 , 2π3)
(2 , 5π6)
(2 , π6)
(2 , 5π3)
2,x4
2,x6
2,x3
2,3x2
29, 201.8°
2, 201.8°
29, 315.8°
2, 315°
2, 98°
163eiπ/2
163e3iπ/2
163eiπ/4
163e3iπ/4
163e5iπ/4
(2, π3)
(-2, 2π3)
(-2, -π3)
(2, 4π3)
(1, π/3)
(1, π/2)
(2, π/4)
(2, π/2)
1,2π3
2,π3
2,4π3
2,2π3
2,4π3±2
2, 
1,4π3±2
1, 
x2y2=a
y2=4ax
y2+4ax=0
y2+2ax=0
y2 = 4ax
x2+y2 = a2
y2 +4ax= 0
x2+y2 = a2
(-3,-1)
(-3,1)
(3,-1)
কোনোটিই নয়
3,1 
-3,1
-3,-1
3,-1
x2 + y2 =ax
x2 + y2 + ax= 0
x2 + y2 = a2
x2 + y2 + a2=0
r=2a cosθ
r2=2a cosθ
r=2a sinθ
r2=2a sinθ

দুইটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব

দুইটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয়ের জন্য একটি গুরুত্বপূর্ণ সূত্র রয়েছে। যদি দুটি বিন্দু A(x_1, y_1) এবং B(x_2, y_2) হয়, তবে A এবং B বিন্দু দুটির মধ্যকার দূরত্ব d নির্ণয় করতে নিচের সূত্রটি ব্যবহার করা হয়:

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}


উদাহরণ

ধরুন, A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (2, 3) এবং B বিন্দুর স্থানাঙ্ক (5, 7) । তাহলে,

  1. x_1 = 2 , y_1 = 3
  2. x_2 = 5 , y_2 = 7

এখন, d নির্ণয় করা যাক:

d = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2}
= \sqrt{3^2 + 4^2}
= \sqrt{9 + 16}
= \sqrt{25}
= 5

অতএব, A এবং B বিন্দু দুটির মধ্যকার দূরত্ব হলো 5 একক।


এই সূত্রটি দুইটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয়ের জন্য জ্যামিতিতে বহুল ব্যবহৃত।

# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

10
2
5
26
4
λ4
3λ4
λ2
5λ4
19
9
13
3
94
159
95
কোনটিই নয়
3113 একক
2713 একক
3215 একক
2714 একক
1 একক
2 একক
2 একক
22 একক
1129
29
-29
-1129

কোনো রেখাংশকে নির্দিষ্ট অনুপাতে বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক

কোনো রেখাংশকে নির্দিষ্ট অনুপাতে বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয়ের জন্য একটি বিশেষ সূত্র ব্যবহার করা হয়। যদি দুটি বিন্দু A(x_1, y_1) এবং B(x_2, y_2) হয় এবং A এবং B -এর মধ্যে রেখাংশকে m : n অনুপাতে বিভক্তকারী বিন্দুটি P(x, y) হয়, তবে P -এর স্থানাঙ্ক নির্ণয়ের সূত্র হলো:

x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n}
y = \frac{my_2 + ny_1}{m + n}

এখানে,

  • m : প্রথম বিন্দু A থেকে দূরত্বের অনুপাত
  • n : দ্বিতীয় বিন্দু B থেকে দূরত্বের অনুপাত

উদাহরণ

ধরুন, A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (2, 3) এবং B বিন্দুর স্থানাঙ্ক (8, 7) , এবং A এবং B -এর মধ্যকার রেখাংশকে 2 : 3 অনুপাতে বিভক্তকারী বিন্দু P -এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করতে চাই।

এক্ষেত্রে,

  • x_1 = 2 , y_1 = 3
  • x_2 = 8 , y_2 = 7
  • m = 2 , n = 3

এখন, P(x, y) -এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করা যাক:

x = \frac{(2 \times 8) + (3 \times 2)}{2 + 3} = \frac{16 + 6}{5} = \frac{22}{5} = 4.4
y = \frac{(2 \times 7) + (3 \times 3)}{2 + 3} = \frac{14 + 9}{5} = \frac{23}{5} = 4.6

অতএব, P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (4.4, 4.6)


এইভাবে, কোনো রেখাংশকে নির্দিষ্ট অনুপাতে বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করা যায়।

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য বেশ কয়েকটি পদ্ধতি রয়েছে। সাধারণ কিছু পদ্ধতি নিচে আলোচনা করা হলো:


১. ভিত্তি ও উচ্চতা ব্যবহার করে ক্ষেত্রফল নির্ণয়

যদি ত্রিভুজের একটি ভিত্তি (Base) b এবং উচ্চতা (Height) h জানা থাকে, তবে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল A নির্ণয় করা যায় নিচের সূত্র দিয়ে:
A = \frac{1}{2} \times b \times h


২. তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক দিয়ে ক্ষেত্রফল নির্ণয়

যদি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক A(x_1, y_1) , B(x_2, y_2) , এবং C(x_3, y_3) জানা থাকে, তবে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল A নির্ণয় করা যায় নিচের সূত্র দিয়ে:
A = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|


৩. হারনের সূত্র (Heron's Formula) দিয়ে ক্ষেত্রফল নির্ণয়

যদি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য a , b , এবং c জানা থাকে, তবে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল A নির্ণয় করতে হারনের সূত্র ব্যবহার করা হয়। প্রথমে, ত্রিভুজের পরিধির অর্ধেক s বের করতে হবে:
s = \frac{a + b + c}{2}
এরপর, ক্ষেত্রফল A নির্ণয় করতে নিচের সূত্র ব্যবহার করা হয়:
A = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}


উদাহরণ

ধরুন, একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক A(1, 2) , B(4, 6) , এবং C(7, 2)

সমীকরণ ব্যবহার করে ক্ষেত্রফল:

A = \frac{1}{2} \left| 1(6 - 2) + 4(2 - 2) + 7(2 - 6) \right|
= \frac{1}{2} \left| 1 \times 4 + 4 \times 0 + 7 \times -4 \right|
= \frac{1}{2} \left| 4 - 28 \right|
= \frac{1}{2} \times 24 = 12

অতএব, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 12 বর্গ একক।


এই পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করে বিভিন্ন ধরনের ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যায়।

# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

4 বর্গ একক
2 বর্গ একক
1 বর্গ একক
12 বর্গ একক
64 বর্গমিটার
24 বর্গমিটার
83
163
92
-92
112
-112
72
272
-272
92
27
12b2m-m1
b221m-1m1
2b1m1-1m
12bm1-m
3
934
93
334
66
126
36
56
12 (x1y2-x2y1)
12 (x1y1-x2y2)
12 (x1y1-x2y2)
12 (x1y2-x2y1)
92
-92
112
-112
72
4812
4612
50
  7112
25
15
252
251
4 বর্গ একক
4P বর্গ একক
4P2 বর্গ একক
সবগুলি
112
92
-112
94
-92
6cm2
9cm2
12cm2
10cm2
7
9
130
127
147
34a2
3a2
a23
কোনটিই নয়
34a2 বের্গ সেমি
3a2 বর্গ সেমি
a23 বর্গ সেমি
কোনটিই নয়
absinθ
abcosθ
abθ
কোনোটিই নয়
310sq. unit
103sq. unit
510sq. unit
105sq. unit
None
53 বর্গএকক
523 বর্গএকক
103 বর্গএকক
543 বর্গএকক
32
52
34
54
72
14π
8π
4π
18π
49
59
94
7
In 4 sq. unit
5 sq. unit
4 sq. unit
In 5 sq. unit 
13 বর্গ একক
23 বর্গ একক
12 বর্গ একক
23 বর্গ একক
112sq.units
13sq.units
12sq.units
16sq.units
x2+y2=5
x2+y2=25
x-y=5
x+y=5
x+y=±10
92
4
9
94
bc sin B
ab sin C
12 bc sin B
12 ab sin B
73
92
72
112
2
8
4
14
0.5 (a - b)a
0.5 (a - b)b
a+ba
কোনটিই নয়
πu2g
πug
πu2g2
πu4g2
3π2
9π2
3π
9π2
  23unit2  
   -23 unit2
  32unit2 
  13unit2
12m(b-ma)2
1m(b-ma)2
12m(b-ma)
32m(b-ma)2
02(x-1)dx
02x-1 dx
212(x-1)dx
201(x-1)dx
02(x-1)dx
02x-1dx
212(1-x)dx
201(x-1)dx
 38sq.units  
   83sq. units  
3 sq.units
8 sq. units
0
 p2 1n 2 
  p2 1n 12
 1n 12   
1n 3
3x+y=10
x+3y=10
10x+y=3
x+10y=3 
6.05×10-4 J
6×10-3 N
5.03×10-4 J
6.05 J
3.03×10-4N
π
4π
8π
16π
163 sq. units
83 sq. units
323 sq. units
43 sq. units
0.5ab sinγ
0.5ab sinβ
0.5bc sinγ
0.5a sinα
92 cm2
108 cm2
1122 cm2
118 cm2
  12abc
 12(a-b)(b-c)(c-a)
  12(b-1)(b-c)(c-a) 
3abc
    5.92m2 
2.76m2
   10.39m2
 2.96m2 
     2.56m2
12(b-ma)2
12m(b+ma)2
12(b+ma)2
12m(b-ma)2
23 একক
310 একক
103 একক
204 একক
56
 16  
 -16
 13
E α T
E α T2
E α T4
E α T5
     25π  
 52π
  20π
 10π  
9π
   2sq.unit
  8sq.unit 
56 sq. unit
   56π sq.unit 
2×104N
6×104N
8×104N
12×104N
144 π বর্গ একক
12 π বর্গ একক
16 π বর্গ একক
72π বর্গ একক
25
254
50 
252
8
4
16
32
83
3
8
     38
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
সিলিন্ডারের ক্ষেত্রফল = 12×πr1
গোলকের ক্ষেত্রফল = 2πr2
ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = 12×(1×b)
12bcsinA
12bcsinB
12acsinC
12ab
π
2π
3π
4π
π
2π
4π
π4
112 sq units
13 sq units 
         12 sq units
16 sq units 
14πa2 
   12πa2
  πa2
12a2
3a2
32a
32a2
3a
-
925(160 ln 2-31) 
1
43 unit2
      34unit2
    4unit2
  3unit2
53 বর্গ একক
523 বর্গ একক
103 বর্গ একক
543 বর্গ একক
412 বর্গ একক
312 বর্গ একক
4 বর্গ একক
212 বর্গ একক
14.97 MW
7.48 x 105 MW 
2.85 x 105 w 
45.6 MW
7.48 x 105 W
2sq. units
 34 sq. units
  23 sq. units
    12 sq. units   
16π
10π
25π
9π
1+3
1+32
1-3
3-12
2
12π বর্গ একক
144π বর্গ একক
24π বর্গ একক
72π বর্গ একক

সঞ্চারপথের সমীকরণ

সরলরেখার সঞ্চারপথের সমীকরণ বলতে এমন একটি সমীকরণকে বোঝায় যা সরলরেখার সমীকরণ নির্ধারণ করে। সরলরেখা সোজাসুজি একটি নির্দিষ্ট পথ ধরে চলে বলে এর সঞ্চারপথের সমীকরণও সরলরেখার সমীকরণ হিসেবেই বিবেচিত হয়। কোনো সরলরেখার সঞ্চারপথ নির্ণয়ের জন্য সাধারণত দুইটি বিন্দুর অবস্থানের ভিত্তিতে সমীকরণ নির্ণয় করা হয়।

যদি একটি সরলরেখার উপর দুটি বিন্দু A(x_1, y_1) এবং B(x_2, y_2) থাকে, তবে সরলরেখার সমীকরণ হবে:


সরলরেখার ঢাল (Slope)

প্রথমে, সরলরেখার ঢাল নির্ণয় করতে হবে। ঢাল বা সোপান (slope) m নির্ণয় করা যায় নিচের সূত্র দিয়ে:
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}


বিন্দু-ঢাল রূপে সরলরেখার সমীকরণ

যদি ঢাল m এবং একটি নির্দিষ্ট বিন্দু (x_1, y_1) জানা থাকে, তবে সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করা যায়:
y - y_1 = m(x - x_1)


সরলরেখার সাধারণ রূপ

উপরের সমীকরণটি সরলীকরণ করলে আমরা সরলরেখার সাধারণ রূপ পেতে পারি:
y = mx + c
এখানে m হল ঢাল এবং c হল y -অক্ষের উপর রেখাটি যেখানে ছেদ করে।


উদাহরণ

ধরুন, A(2, 3) এবং B(5, 7) বিন্দু দুটি একটি সরলরেখার উপর অবস্থিত।

ধাপ ১: ঢাল নির্ণয়

m = \frac{7 - 3}{5 - 2} = \frac{4}{3}

ধাপ ২: বিন্দু-ঢাল সমীকরণ ব্যবহার করে সরলরেখার সমীকরণ

y - 3 = \frac{4}{3}(x - 2)
y - 3 = \frac{4}{3}x - \frac{8}{3}
y = \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} + 3
y = \frac{4}{3}x + \frac{1}{3}

অতএব, সরলরেখার সমীকরণ হলো:
y = \frac{4}{3}x + \frac{1}{3}


এই সমীকরণটি সরলরেখার সঞ্চারপথ নির্দেশ করে, যা একটি সরলরেখা ধরে বিস্তৃত থাকে।

# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

x2+y2=36
x2-y2=36
-x22+y2=36
-x-y2=36
x2-6x+8y+25=0
x2+y2-6x+8y+25=0
y2-6x+8y+25=0
y2-6x+8y+25=0
(x-2)2+(y-1)2=4
(x-2)2+(y-1)2=42
(x+2)2+(y+1)2=42
(x-2)2+(y+1)2=42
x2+y2-8x+7=0
x2+y2+4x+12=0
x2+y2=3
x2+y2=42
y2=3x2
x2=3y2
y2=2x
y2=4x2
y2=4ax
x2=4
x2+y2=a2
y+ax=0
x2+y2=4
2x+4y=3
x2-y2=x2-y2=3>3
2x2+3y2=.3

সরলরেখার ঢাল

সরলরেখার ঢাল বা সোপান (Slope) হলো এমন একটি গুণাবলী যা নির্দেশ করে যে সরলরেখাটি কীভাবে ঢালু বা কাত হয়ে রয়েছে। এটি রেখার প্রবণতা নির্দেশ করে এবং গণিতে এটি mm দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। ঢাল মূলত রেখাটি কতটা তীক্ষ্ণভাবে উপরে বা নিচে চলছে, তা নির্দেশ করে।

সরলরেখার ঢাল নির্ণয়ের জন্য সাধারণত দুটি বিন্দু ব্যবহার করা হয়। যদি রেখার উপর দুটি বিন্দু A(x1,y1)A(x_1, y_1) এবং B(x2,y2)B(x_2, y_2) থাকে, তাহলে ঢাল mm নির্ণয় করার সূত্রটি হলো:

m=y2y1x2x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

এটি বলতে পারেন যে, ঢাল হচ্ছে yy-এর পরিবর্তনের হার এবং xx-এর পরিবর্তনের হারের অনুপাত।

Content added || updated By

# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

অক্ষ
মূলবিন্দুগামী বেখা
x-অক্ষের সমান্তরাল রেখা
কোনটিই নয়
34
43
322
13
-2
2
 12
      -12 
π/2
1
 x=±2  
1
±1
        ±32
43
34
-43
14
34
43
-43
14
-15
5
15
-25
1
-1
π4
-π4
-1
1
-12
12
±3
0
±1
1
-1
45°
60°
30°
135°
120°
5e5x
e5x
5
0
180°
0°
60°
90°
-f(-1)
-f'(1)
-1f'(1)
-1f'(0)
x+y ±2 = 0
x+y±2 2 = 0
x+y±42=0
x + y – 3 = 0
-1
-49
49
23
 -23
45
35
-25
-45
±32
 ±2
1
  ±1
23
1
-23
32
1
-1
12
43
34
কোনোটিই নয়
12 
  2   
-2 
23
34
-43
-34
73
6
272
275
16
x+y+3=0
x+y=3
x+2+3=0
x+2y-3=0
x2=2y
y2=4x
x2=4y
y2=2y
2x+3y-12=0
3x+3y-12=0
2x+3y-6=0
3x+2y-6=0
3x-2y=0
5x-4y=±5
2x-y+9=0
3x-7y±4=0
7x-4y±8=0
2 3
3 2
2
2 2
পরস্পর লম্ব
পরস্পর সমান্তরাল
x-অক্ষের উপর লম্ব
y-অক্ষের উপর লম্ব
-18,116
18,116
-18,-116
18,116
-57,37
-57,97
-107,97
-107,37
a=-23, b=2524
a=23, b=-2524
a=32, b=-2524
a=-23, b=-2524
(x+1)=-1
(x+1)=1
(x-1)=0
x-1=5
60˚
120˚
150˚
90˚
4x+5y-7=0
5x-4y-1=0 
5x-4y+3=0
4x+5y-10=0

বিভিন্ন আকারের সরলরেখার সমীকরণ

সরলরেখার বিভিন্ন আকারের সমীকরণ রয়েছে, যা রেখার অবস্থান ও গঠন নির্ভর করে। নিচে সরলরেখার বিভিন্ন ধরনের সমীকরণ এবং তাদের বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে আলোচনা করা হলো:


১. ঢাল-অবস্থান বিন্দু আকারের সমীকরণ (Slope-Intercept Form)

সরলরেখার এই আকারের সমীকরণটি হলো:
y = mx + c
এখানে:

  • m হল রেখার ঢাল বা সোপান।
  • c হল y -অক্ষের সাথে রেখার ছেদ বিন্দু (y-intercept)।

উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি সরলরেখার ঢাল m = 2 এবং y -অক্ষে ছেদ বিন্দু c = 3 হয়, তবে সমীকরণ হবে:
y = 2x + 3


২. বিন্দু-ঢাল আকারের সমীকরণ (Point-Slope Form)

যদি কোনো নির্দিষ্ট বিন্দু (x_1, y_1) এবং রেখার ঢাল m জানা থাকে, তবে সরলরেখার সমীকরণ হবে:
y - y_1 = m(x - x_1)
এটি সাধারণত তখন ব্যবহৃত হয়, যখন একটি নির্দিষ্ট বিন্দু এবং রেখার ঢাল দেওয়া থাকে।

উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি বিন্দু (2, 3) এবং রেখার ঢাল m = -1 হয়, তবে সমীকরণ হবে:
y - 3 = -1(x - 2)


৩. সাধারণ আকারের সমীকরণ (General Form)

সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ হলো:
Ax + By + C = 0
এখানে A , B , এবং C ধ্রুবক এবং A এবং B একসাথে শূন্য নয়।

উদাহরণস্বরূপ, যদি সমীকরণ হয় 3x + 4y - 12 = 0 , তবে এটি একটি সাধারণ আকারের সমীকরণ।


৪. দুই ছেদ বিন্দু আকারের সমীকরণ (Two-Intercept Form)

যদি একটি সরলরেখা x -অক্ষকে a বিন্দুতে এবং y -অক্ষকে b বিন্দুতে ছেদ করে, তবে সমীকরণ হবে:
\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

উদাহরণস্বরূপ, যদি রেখাটি x -অক্ষকে 3 এবং y -অক্ষকে 4 এ ছেদ করে, তবে সমীকরণ হবে:
\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1


৫. অনুভূমিক রেখার সমীকরণ (Horizontal Line Equation)

যদি একটি রেখা y -অক্ষে অনুভূমিক থাকে, অর্থাৎ কোনো নির্দিষ্ট y -মানের সমান হয়, তবে সমীকরণ হবে:
y = c
এখানে c হলো y -এর মান।

উদাহরণস্বরূপ, y = 5 একটি অনুভূমিক রেখার সমীকরণ।


৬. উল্লম্ব রেখার সমীকরণ (Vertical Line Equation)

যদি একটি রেখা x -অক্ষে উল্লম্ব থাকে, অর্থাৎ কোনো নির্দিষ্ট x -মানের সমান হয়, তবে সমীকরণ হবে:
x = c
এখানে c হলো x -এর মান।

উদাহরণস্বরূপ, x = -3 একটি উল্লম্ব রেখার সমীকরণ।


এই আকারগুলির মধ্যে বিভিন্ন পরিস্থিতিতে নির্দিষ্ট আকার ব্যবহার করা হয়, যেমন ঢাল ও ছেদ বিন্দু জানলে ঢাল-অবস্থান আকার ব্যবহার করা হয়, এবং নির্দিষ্ট বিন্দু ও ঢাল জানা থাকলে বিন্দু-ঢাল আকারের সমীকরণ ব্যবহার করা হয়।

# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

x+y±42=0
x-y±42=0
2x+y±42=0
x+y±2=0
x+2y±42=0
2x+3y-12 = 0
3x+2y-12 = 0
2x+3y-6 = 0
2x+2y-6 = 0
5x -4y+7=0
4x - 5y + 32 = 0
4x - 5y - 32 = 0
কোনটিই নয়
c=±1+m2
c=±a1+m2
c=±a2+m2
c2=a2+m2
অক্ষের সমান্তরাল
অক্ষের সমান্তরাল
X অক্ষ
Y অক্ষ
কোনটিই নয়
15
25
52
5
37  -23
37  43
-37  23
কোনোটিই নয়
(72, 0)
(0, 72)
(0, 12)
(1, 1)
110
15
12
1
a+b=1
1a+1b=1
a-b=1
1a-1b
-13
13
12
-12
(0, 72)
(72, 0 )
(0, 27)
(27,0)
tan-143
tan-11
tan-112
tan-134
52
74
1
54
a1b1+a2b2=0
a2b2+a2b2=0
a2a2+b2b2=0
a2a2-b2b2=0
60°
45°
90°
0°
m1=m2
m1m2+1=0
1m1+1m2=1
1m1m2=m1+m2
সবগুলোই মিথ্যা
সমবিন্দু গামী রেখা সমূহের ছেদবিন্দু সকল রেখার সমীকরন কে সিদ্ধ করে না
দুটি সরলরেখার সমীকরন এ শুধুমাত্র ধ্রুবক পদটি সমান হলে তারা সমান্তরাল
y2=20x
9x2 + 16y2 = 144
x25-y24=1
x2 + y2 = 25
y2-x2=25
y+3x=0
y-3x=0
y + 13x = 0
3y-x=0
32 বর্গ একক
1 বর্গ একক
13
16
c =±a1+m2
c =a21-m2
c =a1-m2
c =a1+m2
c2ab
c22ab
c22ab
cab
60°
120°
-60°
tan 60°
c=±a1+m2
c=±1+m2
c=±a1+m2
c=±1+m2
79
-97
97
79
    32 বর্গ একক
1 বর্গ একক
 13     বর্গ একক
        16  বর্গ একক
 |c1+c2a2+b2| 
    |c1-c2a2+b2|
|c1+c2a2-b2|
    |c1-c2a2-b2|
    c=±am2-a 
 c =±ma+m2
     c=±ma-m2 
     c=±a1+m2
   103 
  -72
  53   
 -103
1500
1400
1200
1300
কোনোটিই নয়
c=a21-m2
c=±a1+m2
c=a1-m2
c=-a1+m2
c=a1+m2
12sq. unit
53sq. unit
83sq. unit
73sq. unit
x=y3
y=x3
y=3x
None of them

45°

0°

90°

135°

90°
0°
45°
180°
±1
±2
±22
±3
0°
45°
90°
60°
1
-1
13
 -13
113
213
313
414
(143,3) 
   (277,27) 
(274,43) 
কোনোটিই নয়
  83  
53
43   
23
tan-1(1)
      tan-1(12)
  tan-1 (43) 
   tan-1(34)
c=a1+m2
c=±a1+m2
c=1+m2
c=1+m2
y-x=2
x-y=2
x+y=2
কোনোটিই নয়
35
83
12
52
x+5y=10
5x-y=10
5x+y=10
কোনটি নয়
43
83
103
65
 tan-1(1)  
    tan-1 (34)  
  tan-1(43)  
 tan-1(12)
       a1a2 +b1b2  
 a1a2=b1b2
     a1a2-b1b2=0
a1a2=b1b2
x+12y=0
y+3x=0
x+3y=0
x-3y=0
1013
1310
-510
1327

দুইটি সরলরেখার পরস্পর সমান্তরাল বা লম্ব হওয়ার শর্ত

দুইটি সরলরেখা কখন পরস্পর সমান্তরাল বা লম্ব হবে, তা নির্ধারণ করার জন্য তাদের ঢালের গুণাবলী বিশ্লেষণ করা হয়। নিচে এই শর্তগুলি বিস্তারিতভাবে আলোচনা করা হলো:


১. দুইটি সরলরেখা সমান্তরাল হওয়ার শর্ত

দুটি সরলরেখা পরস্পর সমান্তরাল হবে যদি তাদের ঢাল সমান হয়।

যদি সরলরেখা L_1 এবং L_2 -এর ঢাল যথাক্রমে m_1 এবং m_2 হয়, তাহলে রেখাদুটি সমান্তরাল হবে যদি:
m_1 = m_2

উদাহরণ:
ধরুন, সরলরেখা L_1 এবং L_2 -এর সমীকরণ যথাক্রমে y = 2x + 3 এবং y = 2x - 5 । এখানে, উভয় রেখার ঢাল m = 2 । সুতরাং, L_1 এবং L_2 রেখাদুটি পরস্পর সমান্তরাল।


২. দুইটি সরলরেখা লম্ব হওয়ার শর্ত

দুটি সরলরেখা পরস্পর লম্ব হবে যদি তাদের ঢালের গুণফল -1 হয়।

যদি সরলরেখা L_1 এবং L_2 -এর ঢাল যথাক্রমে m_1 এবং m_2 হয়, তাহলে রেখাদুটি পরস্পর লম্ব হবে যদি:
m_1 \times m_2 = -1

অথবা, m_2 = -\frac{1}{m_1}

উদাহরণ:
ধরুন, একটি সরলরেখার সমীকরণ y = 3x + 2 , যার ঢাল m_1 = 3 । যদি আরেকটি সরলরেখা y = -\frac{1}{3}x + 4 হয়, তাহলে এর ঢাল m_2 = -\frac{1}{3} । এখানে,
m_1 \times m_2 = 3 \times -\frac{1}{3} = -1
অতএব, এই দুটি রেখা পরস্পর লম্ব।


সংক্ষেপে:

  • সমান্তরাল রেখা: m_1 = m_2
  • লম্ব রেখা: m_1 \times m_2 = -1

এই শর্তগুলির মাধ্যমে দুইটি রেখার সম্পর্ক নির্ণয় করা যায়।

কোন বিন্দু থেকে সরলরেখার লম্ব দূরত্ব

কোনো নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে একটি সরলরেখার লম্ব দূরত্ব নির্ণয় করার জন্য একটি নির্দিষ্ট সূত্র ব্যবহার করা হয়। যদি কোনো বিন্দু P(x_1, y_1) এবং একটি সরলরেখা Ax + By + C = 0 দেওয়া থাকে, তবে বিন্দু P থেকে রেখাটির উপর লম্ব দূরত্ব d নির্ণয় করার জন্য নিচের সূত্রটি ব্যবহার করা হয়:

d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

এখানে:

  • (x_1, y_1) হল বিন্দুটির স্থানাঙ্ক।
  • Ax + By + C = 0 হল সরলরেখার সমীকরণ।

উদাহরণসহ সমাধান

ধরুন, সরলরেখাটির সমীকরণ হলো 3x + 4y - 10 = 0 এবং বিন্দুটি হলো (2, 3)

ধাপ ১: d এর মান স্থাপন করে সরলীকরণ

d = \frac{|3 \times 2 + 4 \times 3 - 10|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}

ধাপ ২: গাণিতিক সমাধান

= \frac{|6 + 12 - 10|}{\sqrt{9 + 16}}
= \frac{|8|}{\sqrt{25}}
= \frac{8}{5} = 1.6

অতএব, বিন্দু (2, 3) থেকে সরলরেখা 3x + 4y - 10 = 0 -এর উপর লম্ব দূরত্ব 1.6 একক।


চিত্র সহ ব্যাখ্যা

এই চিত্রের মাধ্যমে সহজেই বোঝা যায় যে, P(x_1, y_1) বিন্দু থেকে সরলরেখা Ax + By + C = 0 -এর উপর লম্ব দূরত্ব কীভাবে নির্ণয় করা হয়।

চিত্র:

  1. রেখা 3x + 4y - 10 = 0 আঁকা হয়েছে।
  2. বিন্দু P(2, 3) সরলরেখার বাইরে অবস্থান করছে।
  3. P বিন্দু থেকে রেখাটির উপর একটি লম্ব আঁকা হয়েছে, যা রেখাটির উপর একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে পৌঁছেছে।

আমি এই চিত্রটি সরাসরি প্রদান করতে পারছি না, তবে আপনি একটি কাগজ বা জ্যামিতিক সফটওয়্যারে এই ধাপগুলো অনুসরণ করে চিত্রটি আঁকতে পারেন:

  1. সরলরেখার সমীকরণ দিয়ে রেখাটি অঙ্কন করুন।
  2. বিন্দু P(2, 3) চিহ্নিত করুন।
  3. বিন্দু P -থেকে সরলরেখার উপর একটি লম্ব আঁকুন এবং দূরত্ব d = 1.6 চিহ্নিত করুন।

দুইটি সরলরেখার ছেদবিন্দু

দুটি সরলরেখার ছেদবিন্দু (Intersection Point) নির্ণয় করার জন্য সরলরেখাগুলির সমীকরণগুলো একসাথে সমাধান করতে হয়। যদি দুটি সরলরেখার সমীকরণ দেওয়া থাকে:

  • প্রথম রেখার সমীকরণ: a_1x + b_1y + c_1 = 0
  • দ্বিতীয় রেখার সমীকরণ: a_2x + b_2y + c_2 = 0

তাহলে এই সমীকরণগুলির সমাধান করার মাধ্যমে তাদের ছেদবিন্দু (x, y) পাওয়া যায়।


সমীকরণ সমাধান করার পদ্ধতি

দুটি সমীকরণ একসাথে সমাধান করতে আমরা বিভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারি। নিচে এলিমিনেশন পদ্ধতিতে সমাধান প্রদর্শন করা হলো:

ধাপ ১: x বা y প্রতিস্থাপন বা বাদ দিয়ে সমাধান

প্রথমে একটি চলক বাদ দিয়ে অন্য চলকের সমাধান করতে হবে। এজন্য দুই সমীকরণকে এমনভাবে সাজানো হয় যেন একটি চলক বাদ যায়।


উদাহরণ

ধরুন, আমাদের দুটি সমীকরণ আছে:

  1. 2x + 3y - 5 = 0
  2. x - 2y + 1 = 0

ধাপ ১: প্রথম সমীকরণ থেকে x বা y প্রতিস্থাপন করে সমাধান করা যাক।

প্রথমে, দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে x -এর মান বের করি:
x = 2y - 1

ধাপ ২: প্রথম সমীকরণে x -এর মান প্রতিস্থাপন

প্রথম সমীকরণটি হলো:
2(2y - 1) + 3y - 5 = 0

এখন সমাধান করা যাক:
4y - 2 + 3y - 5 = 0
7y - 7 = 0
y = 1

ধাপ ৩: y -এর মান দিয়ে x -এর মান নির্ণয়

y = 1 মানটি দ্বিতীয় সমীকরণে স্থাপন করি:
x = 2(1) - 1 = 1

ছেদবিন্দু

অতএব, রেখাদুটি (1, 1) বিন্দুতে ছেদ করেছে।


সাধারণ সূত্র

দুটি সরলরেখার ছেদবিন্দু নির্ণয়ের জন্য নিম্নোক্ত সূত্র ব্যবহার করা যায়, যদি রেখাদুটি সমান্তরাল না হয়:

x = \frac{b_1c_2 - b_2c_1}{a_1b_2 - a_2b_1}
y = \frac{c_1a_2 - c_2a_1}{a_1b_2 - a_2b_1}

এই সূত্রগুলো ব্যবহার করে যে কোনো দুই সরলরেখার ছেদবিন্দু সহজেই নির্ণয় করা সম্ভব।

# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

11x+11y-8=0
30x-28y+15=0
11x-11y+8=0
59x+59y-12=0
59x-59y+42=0
45°
90°
180°
0°
sinB2 = (s-c)(s-a)ca
tanB2 = (s-c)(s-a)s(s-b)
cosC2 = s(s-c)ab
সবগুলো
113
413
14
152
স্মৃতি ইউনিট
নিয়ন্ত্রণ ইউনিট
গাণিতিক ও যুক্তি ইউনিট
সবগুলো
x-অক্ষের সমান্তরাল
y-অক্ষের সমান্তরাল
x-অক্ষের উপর লম্ব
কোনোটিই নয়
x1
x<1
x8
x<8
ddx(ax)=ax
ddx(ex)=ex
ddxlnx=1x
কোনটিই নয়
13313%
75%
3313%
কোনোটিই নয়
x-অক্ষের সমান্তরাল
y-অক্ষের সমান্তরাল
y-অক্ষের উপর লম্ব
কোনোটিই নয়
tan x dx=ln cos x
ex dx = e
ln x dx = 1x
সবগুলি
(10110101)2
(10011010101)2
(100110101)2
(1001101010)2
tanθ=37
cot=73
secθ=119
cosecθ=0
25102
536
2536
5102
12
215
715
1/313
A-B=AB
A-B=AB
A-B=AB
A-B=AB
62-1
52-1
26-1
25-1
n+12
n+1
n(n+1)2
n(n+1)
B সেটটি A সেটের উপসেট
A সেটটি B সেটের উপসেট
A ও B প্রত্যকে তুলনীয় সেট
সবকটিই সঠিক
752 
1526
1113
713
913
14
13
12
23
5
15
-357
-657
657
765
-657
757
A-B=AB'
A-B=A'B
A-B=AB'
A-B=A'B
14
13
12
1
u2g
u sin αg
u sin α2g
u2g
14
34
12
59
n2(n+1)
n3(n+1)
n(n+1)
2n(n+1)
26 
26 -2
2-26
26-1
134
135
114
115
23
29
13
19
-12x
1x
12x
1x2
2, 3:1
3 : 2:1
2:3 :1
1:3 :2
-1sinθ1
0sinθ1
-1>sinθ>1
1>sinθ
0!=1
1!=1
Crn×r!=Prn
Crn=n!(n-r)!
sinθ=-1, θ=(4n+1)π/2
cosθ=-1, θ=(2n+1)π
sinθ=1, θ=(4n-1)π/2
cosθ=1, θ=
secxdx=Intan(π4-x2)
secxdx=Intan(π4+x2)
secxdx=Insecx+tanx
dxa2+x2=12tan-1xa
cos3A=3cosA-4cos3A
tan3A=3tanA-tan3A1-3tan2A
sin3A=3sinA-4sin3A
cos2A=1-tan2A1+tan2A
জটিল মূল জোড়ায় থাকে
কোন জটিল রাশির মূল সবসময় জটিল হয় না
দুইটি জটিল সংখ্যার ভাগপল জটিল সংখ্যা
জটিল সংখ্যা ও তার অনুবন্ধী সংখ্যার যোগফল বাস্তব সংখ্যা
sin3A=3sinA-4sinA-4sin3A
SinC=3sinD=2cosC+D2cosC-D2
cos3A=4cos3A-3cosA
cosC-cosD=2sinC+D2cosD-C2
abx
axb
bxa
abxax
12
511
611
35
A\B=AB
A\B=AB
A\B=AB
A\B=AB
4
2πr
4πr2
43πr3
πr2
3!
6!
6!3!
6C3
None
14
12
4
2
1-2e
12e-1
2(e-1)
12e+1
200g
300g
500g
600g
32
23
2
12
12+c
In 2+c
xIn 2 + c
12 In.2 + c
A/B = A'B
A|B = AB'
A|B = AB'
A\B = A'B
IX
UX
EX
সবকটি
115
215
13
23
1315
স্বাভাবিক সংখ্যার সেট বিয়োগ প্রক্রিয়া সাপেক্ষে
পূর্ণ সংখ্যার সেট ভাগ প্রক্রিয়া সাপেক্ষে
অমূলদ সংখ্যার সেট ভাগ প্রক্রিয়া সাপেক্ষে
শূন্য ব্যতীত মূলদ সংখ্যার সেট ভাগ প্রক্রিয়া সাপেক্ষে
বাস্তব সংখ্যার সেট ভাগ প্রক্রিয়া সাপেক্ষে
|a +b||a| + |b| 
 |a -b||a| +|b|   
-|a|a|a| 
      |ab||a| |-b|   
None

দুইটি সরলরেখার অন্তর্ভুক্ত কোণ

দুইটি সরলরেখার অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয়ের জন্য তাদের ঢাল ব্যবহার করা হয়। যদি দুটি সরলরেখার ঢাল m_1 এবং m_2 হয়, তবে তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ \theta নির্ণয়ের জন্য নিচের সূত্রটি ব্যবহার করা হয়:

\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2} \right|

এখানে:

  • m_1 এবং m_2 যথাক্রমে প্রথম এবং দ্বিতীয় সরলরেখার ঢাল।
  • \theta হল রেখাদুটির অন্তর্ভুক্ত কোণ।

বিশেষ ক্ষেত্রে

  1. যদি m_1 = m_2 হয়:
    তখন রেখাদুটি সমান্তরাল এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ \theta = 0^\circ
  2. যদি m_1 \cdot m_2 = -1 হয়:
    তখন রেখাদুটি পরস্পর লম্ব এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ \theta = 90^\circ বা \frac{\pi}{2} রেডিয়ান হবে।

উদাহরণ

ধরুন, দুটি সরলরেখার ঢাল m_1 = 2 এবং m_2 = -\frac{1}{3}

ধাপ ১: সূত্রে m_1 এবং m_2 এর মান বসানো

\tan \theta = \left| \frac{2 - \left(-\frac{1}{3}\right)}{1 + 2 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)} \right|

ধাপ ২: সরলীকরণ

= \left| \frac{2 + \frac{1}{3}}{1 - \frac{2}{3}} \right|
= \left| \frac{\frac{6 + 1}{3}}{\frac{3 - 2}{3}} \right|
= \left| \frac{\frac{7}{3}}{\frac{1}{3}} \right|
= |7| = 7

ধাপ ৩: \theta নির্ণয়

এখন, \tan \theta = 7 হলে, \theta = \tan^{-1}(7) , যা প্রায় 81.87^\circ


সংক্ষেপে

  • সমান্তরাল রেখা: m_1 = m_2 হলে, রেখাদুটি সমান্তরাল এবং কোণ 0^\circ
  • লম্ব রেখা: m_1 \cdot m_2 = -1 হলে, রেখাদুটি লম্ব এবং কোণ 90^\circ

এইভাবে, দুইটি সরলরেখার ঢালের সাহায্যে তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় করা যায়।

# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

 tan-1(-74)  
   tan-1(-47)    
   tan-1(74) 
 tan-1(-34)
cos-1 425
cos-1 421
45°
90°
135º 
90º
115º 
75º
120º
60°,60°and 240°
90°,90°and 180°
120°,120°and 120°
150°,150°and 160°
45°,45°and 270°
110° 
 120° 
135° 
150°
Promotion